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Unter dem Normalenvektor einer Geraden g in der Ebene versteht man einen Vektor n → , der senkrecht zu g ist. Die folgende Abbildung zeigt mehrere solcher Normalenvektoren zu einer Geraden g.

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Unter dem Normalenvektor einer Ebene ε im Raum versteht man einen Vektor n → , der senkrecht zu ε ist. In der folgenden Abbildung sind mehrere Normalenvektoren zu einer Ebene ε eingezeichnet.

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Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz. Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu. Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Ab...

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Gegeben seien im Raum zwei Ebenen ε 1 und ε 2 . Der Abstand dieser beiden Ebenen ist zu bestimmen. Dazu muss man zuerst erklären, was unter dem Abstand von zwei Ebenen ε 1 und ε 2 zu verstehen ist.

Aus dem Inhalt:

[...] Satz: Sind im Raum zwei zueinander parallele Ebene ε 1 und ε 2 jeweils durch einen Stützpunkt P 1 bzw. P 2 und jeweils einen Normalenvektor n → 1 bzw. [...]

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Schneidet eine Gerade g die Ebene ε im Punkt S, so versteht man unter dem Schnittwinkel ϕ von g und ε den kleinsten Winkel, den eine beliebige Gerade aus ε , die durch S geht, mit g bildet.

Aus dem Inhalt:

[...] Für die Berechnung von ϕ wird die Tatsache genutzt, dass ϕ der Komplementwinkel des Winkels α zwischen einem Normalenvektor n → von ε und einem Richtungsvektor a → von g ist. Es gilt ϕ = 90 ° − α . [...]

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Schneiden zwei Ebenen ε 1 u n d ε 2 einander in einer Geraden g, so bezeichnet man als Schnittwinkel ϕ dieser Ebenen den Winkel zwischen denjenigen beiden Geraden, die eine dritte, zur Schnittgeraden senkrechte Ebene aus ε 1 u n d ε 2 „herausschneidet“.

Aus dem Inhalt:

[...] Zur rechnerischen Bestimmung des Schnittwinkels betrachtet man zwei Normalenvektoren n →   1     u n d       n →   2 der Ebenen ε 1       u n d       ε 2 . [...]

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Definition: Die Menge der Ebenen des Raumes, die eine feste Gerade g 0 enthalten, heißt Ebenenbüschel . Da die Gerade g 0 schon als Schnittgerade von zwei Ebenen des Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man sagen, dass jedes Ebenenbüschel im Raum durch zwei seiner Ebenen ε 1 u n d ε 2 eindeutig bestimmt ist.

Aus dem Inhalt:

[...] durch den Ortsvektor p → 0 zu einem Stützpunkt P 0 von g 0 und einen zugehörigen Normalenvektor n → beschreiben. Es ist dann ε 1   : ( x → − p → 0 ) ⋅ n → 1 = 0 [...]

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Definition: Die Menge der Geraden der Ebene, die durch einen festen Punkt P 0 geht, heißt Geradenbüschel . Da der Punkt P 0 schon als Schnittpunkt von zwei Geraden eines Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man feststellen, dass jedes Geradenbüschel der Ebene durch zwei seiner Geraden g 1 u n d g 2 eindeutig festgelegt ist.

Aus dem Inhalt:

[...] den Punkt P 0 gehen. Jede dieser beiden Geraden lässt sich z. B. durch den Ortsvektor p → 0 zum Punkt P 0 und einen zugehörigen Normalenvektor n → beschreiben. [...]

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In Analogie zur Definition des Abstandes anderer geometrischer Objekte wird unter dem Abstand zweier windschiefer Geraden g und h im Raum die Länge der kürzesten Strecke A B ¯ verstanden, die einen beliebigen Punkt A von g mit einem beliebigen Punkt B von h verbindet.

Aus dem Inhalt:

[...] der Richtungsvektoren von g und h ein Normalenvektor von ε ist, gilt mit einem beliebigen Punkt B ∈ h ⊂ ε :   d ( g ,   h ) = |   ( a → − b → ) ⋅ ( v 1 → × v 2 → ) |   v 1 [...]

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In jedem Punkt P 0 einer Kugel gibt es unendlich viele Tangenten, die alle senkrecht zum Radius der Kugel sind. Diese Tangenten bilden die Tangentialebene an die Kugel im Punkt P 0 .

Aus dem Inhalt:

[...] die Tangentialebene an die Kugel im Punkt P 0 . Der Vektor M P 0 → ist folglich Normalenvektor der Tangentialebene. Es gilt (mit P als beliebigem Punkt [...]

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