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pH-Abhängigkeit von Redoxreaktionen
Redoxreaktionen sind Gleichgewichtsreaktionen. Sind an ihnen Oxonium- oder Hydroxid-Ionen beteiligt, wirken sich Änderungen an deren Konzentration und somit Änderungen des pH-Werts auf die Lage des chemischen Gleichgewichts aus.
Aus dem Inhalt:
[...] wenn Oxoanionen ( z . B . M n O 4 – , S O 3 2 – , C r 2 O 7 2 – ) an der Redoxreaktion beteiligt sind. Änderung des Redoxpotenzials von Permanganat [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/chemie-abitur/artikel/ph-abhaengigkeit-von-redoxreaktionen
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Kollinearität von Punkten (und Vektoren)
Punkte bezeichnet man als kollinear, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen. Zwei (verschiedene) Punkte sind stets kollinear, da sie eindeutig eine Gerade bestimmen. Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.
Aus dem Inhalt:
[...] g 1 : x → = ( 1 2 4 ) + r ( 1 1 1 ) u n d g 2 : x → = ( 4 2 1 ) + s ( 3 3 3 ) Aus der Kollinearität der Richtungsvektoren von g 1 u n [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kollinearitaet-von-punkten-und-vektoren
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Kugelgleichungen
Ausgehend vom Begriff der Kugel lassen sich mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems Gleichungen (in vektorieller Form und als Koordinatengleichungen) entwickeln. Eine Kugel kann auch durch eine Parametergleichung beschrieben werden.
Aus dem Inhalt:
[...] y − d ) 2 + ( z − e ) 2 = r 2 Beispiel 2: Eine Kugel mit M ( 2 ; − 3 ; − 1 ) und r = 5 ( L E ) wird durch die folgenden Gleichungen [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kugelgleichungen
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Der Satz von Moivre
Der Satz von MOIVRE – benannt nach ABRAHAM DE MOIVRE (1667 bis 1754) – sagt aus, wie die Multiplikation bzw. Division und das Potenzieren von in trigonometrischer Form vorliegenden komplexen Zahlen auf einfache Operationen für die Winkel und die Beträge der komplexen Zahlen zurückgeführt werden können.
Aus dem Inhalt:
[...] Dazu seien z 1 u n d z 2 komplexe Zahlen mit z 1 = r 1 ( cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) und z 2 = r 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) . Multiplikation Es ist z 1 ⋅ z [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-satz-von-moivre
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Regel von Bernoulli-l'Hospital (erste Regel von l'Hospital)
Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) mit f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0 berechnen. Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME FRANÇOISE ANTOINE DE L'HOSPITAL benannt und gehen auf diesen bzw. den Schweizer JOHANN BERNOULLI zurück.
Aus dem Inhalt:
[...] Da u ′ ( x ) = 2 x u n d v ′ ( x ) = cos x ist, ergibt sich lim a → 0 u ′ ( a ) = 0 b z w . lim b → 0 v ′ ( b ) = 1 . Demzufolge [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/regel-von-bernoulli-lhospital-erste-regel-von-lhospital
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Beweise, vollständige Induktion
Das Verfahren der vollständigen Induktion hängt eng zusammen mit der Menge der natürlichen Zahlen bzw. mit Teilmengen natürlicher Zahlen. Es ist immer dann anwendbar, wenn man auf Aussagen trifft, die für alle natürlichen Zahlen gelten, also die die folgende Struktur aufweisen: Für alle natürlichen Zahlen n ( m i t n ≥ n 0 ) gilt H ( n ) .
Aus dem Inhalt:
[...] 1 = 11 k + 1 + 12 2 k − 1 + 10 ( 11 k + 1 + 12 2 k − 1 ) ⏟ n a c h V o r a u s s e t z u n g d u r c h 133 t e i l b [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/beweise-vollstaendige-induktion
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen (dritten und höheren Grades)
Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 ∈ D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln.
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullstellen-ganzrationaler-funktionen-dritten-und-hoeheren
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Lösen von Vektorgleichungen
Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung. Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt: a → = b → ⇔ Für alle a i , b i gilt a i = b i .
Aus dem Inhalt:
[...] Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für r = 2 u n d s = 1. Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von g 1 b z w . [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesen-von-vektorgleichungen
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Rang einer Matrix
Möglichkeiten der Rangbestimmung einer Matrix M sind das Berechnen der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten durch Anwenden elementarer Matrizenoperationen bzw. das Ermitteln der höchsten Ordnung der nicht verschwindenden Unterdeterminanten von M.
Aus dem Inhalt:
[...] Unterdeterminanten 2.Ordnung betrachtet, z.B.: D 21 = | 2 − 4 1 − 2 | = 0 ; D 22 = | − 4 3 − 2 1 | = 2 ≠ 0 Damit ist r = R g M ≥ 2 [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/rang-einer-matrix
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Rechenregeln für Erwartungswerte
Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechneregeln. Der Einfachheit halber sollen hier nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden. Erwartungswerte können nach diesen Sätzen, nach Definitionen bzw. durch Simulationen bestimmt werden.
Aus dem Inhalt:
[...] die Werte x i mit den Wahrscheinlichkeiten P ( X = x i ) f ü r i = 1, 2, ... , n an. Dann gilt: E ( a X + b ) = ∑ i = 1 n ( a x i + b ) ⋅ P ( a X + b = a x [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/rechenregeln-fuer-erwartungswerte
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