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Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar.

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Die Menge der rationalen Zahlen ℚ enthält als Teilmenge die Menge der natürlichen Zahlen ℕ , die Menge der ganzen Zahlen ℤ und die Menge der Bruchzahlen ℚ + (Bild 1). Die Relationen und Rechengesetze, die in diesen Zahlenbereichen gelten, gelten auch im Bereich der rationalen Zahlen.

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Der (historisch gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.

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Der Bereich der rationalen Zahlen und der Bereich der irrationalen Zahlen bilden zusammen den Bereich der reellen Zahlen. Reelle Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, dabei gehört zu jeder reellen Zahl genau ein Punkt und zu jedem Punkt genau eine reelle Zahl.

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Durch einen dedekindschen Schnitt t werden Zahlenmengen in ein Paar Teilmengen A und B so zerlegt, dass für jedes a ∈ A und jedes b ∈ B die Beziehung a ≤ t ≤ b gilt (wobei t eine reelle Zahl ist).

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* 3. März 1845 St. Petersburg † 6. Januar 1918 Halle (Saale) GEORG CANTOR, der über 30 Jahre Professor an der Hallenser Universität war, gilt als Begründer der (axiomatischen) Mengenlehre.

Aus dem Inhalt:

[...] Mithilfe des sogenannten Diagonalverfahrens zeigte CANTOR, dass es zwar unendlich viele rationale Zahlen gibt, man diese jedoch abzählen kann. GEORG FERDINAND [...]

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Ein Körper ist ein kommutativer Ring, in dem die vom Nullelement verschiedenen Elemente eine Gruppe bilden, d.h., ein Körper hat ein Einselement und zu jedem Element a ≠ 0 aus K ein inverses Element.

Aus dem Inhalt:

[...] und zu jedem Element a ≠ 0 aus K ein inverses Element. Beispiele für Körper sind die rationalen, die reellen und die komplexen Zahlen. Von besonderem Interesse [...]

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GEORG CANTOR (1845 bis 1918), deutscher Mathematiker * 3. März 1845 St. Petersburg † 6. Januar 1918 Halle GEORG CANTOR verfasste u. a. Abhandlungen zur Mengenlehre und schuf damit die Grundlagen einer neuen mathematischen Theorie, die die gesamte Mathematik entscheidend beeinflusste.

Aus dem Inhalt:

[...] Anschließend schuf CANTOR sein berühmtes Diagonalverfahren, mit dem er zeigte, dass auch alle positiven rationalen Zahlen abzählbar sind. [...]

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PYTHAGORAS selbst oder einer seiner Schüler entdeckte, dass bei einem Quadrat das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonalenlänge nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann.

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Im Bereich der reellen Zahlen sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Es gelten die gleichen Gesetze und Regeln wie im Bereich der rationalen Zahlen.

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