Die besten Kinderseiten zu: grenzwertsatz

Grenzwertsätze gehören zu den wichtigsten Aussagen der Stochastik. Der französische Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) nannte sie eine der interessantesten und heikelsten Teile der Analysis des Zufalls.

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Ausgehend von der Erfahrung, dass viele Alltagsphänomene, die sich aus unabhängig voneinander wirkenden kleinen Komponenten zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind, richtete sich das Augenmerk mehrerer Mathematikergenerationen vor allem auf die Frage, welche Bedingungen man dafür zu fordern hat.

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Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung B n ; p treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa n = 10 000 ) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird.

Aus dem Inhalt:

[...] Diese Erfahrung führte zu dem folgenden Grenzwertsatz von POISSON : Grenzwertsatz von POISSON: Es gilt: lim n   →   ∞ n   ⋅   p   =   μ B n ;   p ( { k } ) = P μ ( { [...]

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Für die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen werden die Ansätze und Erkenntnisse genutzt, die im Zusammenhang mit dem Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen gewonnen wurden.

Aus dem Inhalt:

[...] Gegenstände der Stochastik, wie BERNOULLI-Ketten, den Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE und den zentralen Grenzwertsatz, so werden mit ihnen vor allem Aussagen [...]

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Auf der Suche nach „dem durchschnittlichen, dem normalen Menschen“ (l' homme moyen) ließ der auf vielen Gebieten tätige belgische Wissenschaftler LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET (1796 bis 1874) in den 30er Jahren des 19.

Aus dem Inhalt:

[...] beschrieben werden. Der zentrale Grenzwertsatz liefert dafür die theoretische Begründung. Kann man bei einem zufälligen Vorgang aus inhaltlichen Erwägungen davon [...]

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Ein GALTON-Brett dient zum Veranschaulichen von Binomialverteilungen. Es ist nach dem englischen Naturforscher Sir FRANCIS GALTON (1822 bis 1911) benannt. BERNOULLI-Ketten und damit binomialverteilte Zufallsgrößen X ∼ B n ; p lassen sich mit einem GALTON-Brett veranschaulichen.

Aus dem Inhalt:

[...] Mit dem GALTON-Brett kann experimentell die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE) bestätigt werden. [...]

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Unter stochastischen Prozessen werden Folgen von Zufallsversuchen verstanden. Sie treten in den verschiedensten Praxisbereichen auf, z.B. in der Physik der kleinsten Teilchen, bei Warteschlangen- und Bedienungsproblemen, in der Zuverlässigkeitstheorie, bei der Bevölkerungsbewegung oder auch bei Prognoseaussagen.

Aus dem Inhalt:

[...] MICHAILOWITSCH LJAPUNOW (1857 bis 1918), und zwar bei der Suche nach möglichst allgemeinen Bedingungen für die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes . Bei einem MARKOWschen Prozess hängt [...]

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Bei der Untersuchung von Zahlenfolgen auf Konvergenz sind Grenzwertsätze von Nutzen. Mit deren Hilfe lassen sich Folgen komplizierterer Struktur auf einfachere Zahlenfolgen mit bekannten Grenzwerten zurückführen.

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Mithilfe der l'hospitalschen Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) mit f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0 berechnen. Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME FRANÇOISE ANTOINE DE L'HOSPITAL benannt und gehen auf diesen bzw. den Schweizer JOHANN BERNOULLI zurück.

Aus dem Inhalt:

[...] man nun den Zähler als Funktion u mit u ( R ) = U ⋅ ( 1 − e −   R L   t ) und den Nenner als Funktion v mit v ( R ) = R auf, dann läge es nahe, den Grenzwertsatz [...]

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Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen von Bedeutung.

Aus dem Inhalt:

[...]     k ∈ ℝ (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge. Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) [...]

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullfolgen