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Konstantenregel der Differenzialrechnung
Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion f ( x ) = c ( c ∈ ℝ , a b e r f e s t ) besitzt für alle x ∈ ℝ die Ableitung f ′ ( x ) = 0. Wir betrachten die konstante Funktion f ( x ) = c für alle x ∈ ℝ .
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Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion
Im Folgenden wird gezeigt, dass die Tangensfunktion f ( x ) = tan x in ihrem gesamten Definitionsbereich ( x ∈ ℝ ; x ≠ π 2 + k ⋅ π ; k ∈ ℤ ) differenzierbar ist und dort die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = 1 cos 2 x b z w . f ' ( x ) = 1 + tan 2 x besitzt.
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Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen
Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = f ( x ) = a x 2 + b x + c ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel. Für a ≠ 1 erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von y = f ( x ) = x 2 + b x + c eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel. a > 1 Parabel ist...
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Spezielle Wurzelfunktion
Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x 2 = x auf. Die Funktion f ( x ) = x ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu y = g ( x ) = x 2 , jedoch nur für x ≥ 0 , da die Gleichung g ( x ) = x 2 keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.
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Wurzelfunktionen
Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x m n ( x ≥ 0 ; m , n ∈ ℕ ; m ≥ 1 ; n ≥ 2 ) heißen Wurzelfunktionen. Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen, wenn man als Exponenten nicht nur ganze Zahlen, sondern auch gebrochene Zahlen zulässt: x m n = x m n ( x ≥ 0 ; m , n ∈ ℕ ; m ≥ 1 ; n ≥ 2 ) Anmerkung: Verwendet man die Bruchpotenzs...
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Skalarprodukt zweier Vektoren
Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren. Beispiel 1: Hebt man einen Gegenstand mit der Gewichtskraft F G z. B. vom Fußboden auf einen Tisch, so wird mechanische Arbeit verrichtet.
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Ableitung der Kosinusfunktion
Im Folgenden wird gezeigt, dass die Kosinusfunktion f ( x ) = cos x im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = − sin x besitzt. Dazu betrachten wir den Graph der Kosinusfunktion f ( x ) = cos x ( x ∈ ℝ ) im Intervall von 0 bis 2 π .
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Das newtonsches Grundgesetz (2. newtonsches Gesetz)
ISAAC NEWTON (1643-1727) entdeckte einen grundlegenden Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung, der als 2. newtonsches Gesetz, Grundgesetz der Mechanik oder newtonsches Grundgesetz bezeichnet wird und lautet: F → = m ⋅ a → F auf einen Körper wirkende (resultierende) Kraft m Masse des Körpers a Beschleunigung des Körpers Etwas allgemei...
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Kongruenzabbildungen
Eine Kongruenzabbildung (Bewegung) ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung der einen Figur F 1 auf eine andere Figur F 2 . Zwei Figuren F 1 und F 2 sind zueinander kongruent (deckungsgleich) genau dann, wenn sie die gleiche Form und Größe haben.
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Geladene Teilchen in magnetischen Feldern
Geladene Teilchen (Elektronen, Protonen, Ionen) können sich in magnetischen Feldern bewegen und werden durch diese beeinflusst. Ursache dafür ist die LORENTZ-Kraft, die auf bewegte Ladungsträger in magnetischen Feldern wirkt und die mit der Gleichung F → L = Q ⋅ ( v → × B → ) berechnet werden kann.
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