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Lösen von Anwendungsaufgaben mithilfe von Exponentialgleichungen
Eine Reihe von inner- und außermathematischen Anwendungsaufgaben führt auf das Lösen von Exponentialgleichungen. Als Beispiele werden Aufgaben zur Zinseszinsrechnung, zum atmosphärischen Luftdruck sowie zum Entladen eines Kondensators angegeben.
Aus dem Inhalt:
[...] Die geeignete Formel lautet: K n = K 0 ⋅ q n Dabei bedeuten K 0 das Anfangskapital, n die Anzahl der Jahre, K n das Kapital nach n Jahren und q = 1 + p 100 [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesen-von-anwendungsaufgaben-mithilfe-von
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Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises
Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.
Aus dem Inhalt:
[...] man die Exponentialfunktion f ( x ) = e k x , für die k zu bestimmen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von k heißt die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung. [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialgleichungen-zur-beschreibung-des
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Nullstellen trigonometrischer Funktionen
Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form f ( x ) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c ) ) beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Aus dem Inhalt:
[...] Die Sinusfunktion f ( x ) = sin x ( m i t x ∈ ℝ ) besitzt Nullstellen für alle x ∈ { k ⋅ π , k ∈ ℤ } . [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/nullstellen-trigonometrischer-funktionen
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Teilbarkeitsregeln (Anwendung der Kongruenzrechnung)
Als Beispiel für die Anwendung der Kongruenzrechnung werden hier mit deren Hilfe einige Teilbarkeitsregeln (so für 9 und 11) bewiesen. Diese Regeln können auch für Rechenkontrollen genutzt werden.
Aus dem Inhalt:
[...] der im Folgenden angeführten Teilbarkeitsregeln. Satz: Es sei z = a k a k − 1 ... a 1 a 0 = a k ⋅ 10 k + a k − 1 ⋅ 10 k − 1 + ... + a 1 ⋅ 10 + a 0 mit 0 ≤ a ν ≤ 9 [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/teilbarkeitsregeln-anwendung-der-kongruenzrechnung
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Urnenmodelle
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt das Ziehen aus einer Urne mit verschiedenfarbigen, aber ansonsten gleichen Kugeln eine besondere Rolle. Es wird als ein gedankliches Modell zur Interpretation praktischer Aufgaben (insbesondere sogenannter Standardsituationen) genutzt.
Aus dem Inhalt:
[...] w a r z e n K u g e ln k } ) = B n ; p ( { k } ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k ( m i t 0 ≤ k ≤ n ) Beispiel 3 Betrachtet [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/urnenmodelle
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Alternativtests
Verteilungsannahmen (z.B. Hypothesen zu unbekannten Wahrscheinlichkeiten) über Merkmale einer zu untersuchenden Grundgesamtheit werden mithilfe statistischer Tests, sogenannten Signifikanztests, anhand konkreter Stichproben überprüft.
Aus dem Inhalt:
[...] sprechen. Gilt für die Zufallsgröße X also X = { 0 ; 1 ; ... ; k − 1 ; k ; k + 1 ; ... ; n − 1 ; n } , [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/alternativtests
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Approximation einer Binomialverteilung
Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung B n ; p treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa n = 10 000 ) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird.
Aus dem Inhalt:
[...] (gewissermaßen auf den Spuren von POISSON) einzelne Wahrscheinlichkeiten B n ; p ( { k } ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k für größer werdendes n mit n ⋅ p = μ [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/approximation-einer-binomialverteilung
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Summenregel der Differenzialrechnung
Im Folgenden soll die Summenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden. Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden, was mithilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion bewiesen werden kann.
Aus dem Inhalt:
[...] gezeigt wurde. Induktionsschluss I. Induktionsvoraussetzung: A ( k ) : s k ' ( x 0 ) = ∑ i = 1 k u i ' ( x 0 ) II. Induktionsbehauptung: A ( k + 1 ) [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/summenregel-der-differenzialrechnung
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Allgemeine Relativitätstheorie im Original
ALBERT EINSTEIN, der 1905 die spezielle Relativitätstheorie und 1915 die allgemeine Relativitätstheorie veröffentlichte, stellte selbst die wichtigste Inhalte dieser Theorien in vielen Vorträgen und Veröffentlichungen dar.
Aus dem Inhalt:
[...] Man kann das auch so ausdrücken: Für die physikalische Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der Bezugskörper K, K' vor dem anderen ausgezeichnet.... [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/allgemeine-relativitaetstheorie-im-original
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Isobare Zustandsänderungen
Bei einer isobaren Zustandsänderung eines Gases bleibt der Druck konstant. Die Zustandskurve im p-V -Diagramm ist eine Parallele zur V -Achse. Ein solcher Prozess kann realisiert werden, wenn dem Gas eine Wärme Q zugeführt wird.
Aus dem Inhalt:
[...] Die Zustandsgleichung im Ausgangszustand ist: p ⋅ V = N ⋅ k ⋅ T Nach Zuführung der Wärme Q erhöht sich die Temperatur des Gases um Δ T und das Volumen um Δ V . [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/isobare-zustandsaenderungen
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